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浅谈任意角三角函数值的符号

李国惠

    摘要:数学是各门学科基础之母。任意角三角函数值在各门学科教学过程中有重要的作用。我认为在数学教学中, 采取正确学习任意角三角函数值方法,是学生学好任意角三角函数值、是数学教学改革的一个正确的方向。本文结合自己的教学体会,从理论上及实践上阐述三种任意角三角函数值的符号的记忆方法。

      

      关键词:象限 三角函数值 符号

         随着科学技术的进步,数学的任意角三角函数值在各门学科应用越来越广泛。三角函数值在各个象限内的符号情况十分重要,在研究任意角三角函数值的符号的记忆方法同时,我们先了解任意角三角函数的定义。

      我们在初中学习锐角三角函数时,是用直角三角形中两面三条边的比来定义锐角三角函数的。这种定义只局限于研究的角为锐角,而当研究的角为任意大小的角时,必须将这些定义给予推广。

      在直角坐标系中,使任意角的顶点和坐标原点重合,角的始边在x轴的正半轴上,角的终边上任意一点的坐标是(x , y)它与原点的距离是r=如图(1)所示:

      

                图(1)

    x,y和r之间一共有六个比,我们定义:

      如图(2)所示:

         正弦函数:sin=        倒数       余弦函数:cos=;

         正切函数:tan=                   余切函数:cot=;

      正割函数:sec=         关系       余割函数:csc=。 

                                 图(2)

      当为锐角时,上述的定义与锐角三角函数的定义是一致的。通过学习同角三角函数基本关系式,知道任意角六种三角函数有三组倒数关系。

      现阶段的技工学校的学生数学基础比较薄弱,怎样才能使学生方便记得任意角三角函数值的符号,下面我浅淡几点记忆方法:

    (一)方向性记忆法:[如图(6)所示]

    (在直角坐标系中,x轴和y轴将直角坐标平面划分上下、左右、对角结构)

       sin、csc       cos、sec        tan、cot 

              

    

    

            图(3)           图(4)           图(5)

      图(3)~(5) “也可以建立这样口诀:正弦一二全为正,余弦偏在一四中;正

    切、余切却不同,斜插一三两象限,即当角是第一或第二象限的角时, sin>0,而当角是第三或第四象限的角时,sin<0。其余类似. 对任意角三角函数值的符号,教材是根据三角函数的定义结合各象限内的坐标符号导出的。由于从原点到角的终边上任一点P的距离r恒大于零,所以由三角函数的定义可知:sin和csc的值的符号,完全取决于点P的纵坐标y的符号; cos和sec的值的符号,完全取决于点P的横坐标x的符号;tg和ctg的值的符号,在点P的横坐标x与纵坐标y同号时为正,异号时为负。

       将图(3)~(5)可演变为图(6)

       

                                                                 

           

                       

                 

                  

          

           图(6)

    例1、  根据下列给出条件,试确定角所在的象限:

       sin<0,且tan>0.

       解:因为sin<0,所以是第三或第四象限角。

       又因为tan>0,则是第一或第三象限角。

       这样,同时符合sin<0,tan>0的角一定是在第三象限。

    (二)口决记忆法:(如果先撇开正割和余割, 因为正割、余割分别是余弦、正弦的倒数)

      由任意角三角函数定义可知,角α的终边位置不同时,其任意角三角函数值的性质符号也会不同,当角的终边落在第一象限内时,x、y、r均为正数,则六个任意角三角函数的值也均为正数。当角的终边落在第二象限时,x为负数,r、y为正数,所以正弦、余割为正数,其余函数为负数。当角的终边落在第三象限,x、y为负数,r为正数,所以正切、余切为正数,其余为负数,当角的终边落在第四象限时,y为负数,x、r为正数,所以余弦、正割为正数,其余为负数。

    

                           y

         sin>0           全正 

                 0                 x

          切为正             cos>0

             图(7)

      任意角三角函数的象限符号可用“一全正、二正弦、三两切、四余弦”来记忆。(口诀表示的是三角函数值为正时角的终边所在象限). 这十二字口诀的具体含义为:

    一全正——在第一象限内,所有三角函数值的符号全部为正;

    二正弦——在第二象限内,只有正弦的值为正,余者(余弦、正切、余切)均为负;

    三两切——在第三象限内,正切和余切的值为正,余者(正弦、余弦)均为负;

    四余弦——在第四象限内,只有余弦的值为正,余者(正弦、正弦、余切)均为负。

    例: sintan<0,试确定角所在的象限:

         解:因为sintan<0,所以有下列两种情况:

           sin>0           sin<0

             或

         tan<0           tan>0 

     角可能在第一或二象限       角可能在第三或四象限

                         或  

     角可能在第二或四象限      角可能在第一或三象限                   

        所以角可能在第二或三象限

    (三)图表记忆法:

         这六种任意角三角函数的值在各象限的符号如图(8)所示:

      由任意角三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

      因为>0,所以正弦函数值和csc=的符号,由角终边上点的纵坐标的符号确定:若角终边在第一、二象限时,>0,则正弦值是正的;若角终边在第三、四象限时,<0,则正弦值是负的.

      类似的,余弦函数值和 sec=的符号,由角终边上点的横坐标的符号确定:若角终边在第一、四象限时,>0,则余弦值是正的;若角终边在第二、三象限时,<0,则余弦值是负的.

      正切函数值和cot=的符号,由角终边上点的横、纵坐标,的符号共同确定:当,同号时,即角终边在第一、三象限时,正切值是正的;当,异号时,即角终边在第二、四象限时,正切值是负的.

    角终边

    所在象限终边上的点的

    坐标的符号sin=

    csc=cos=

    sec=tan=

    cot=

    一

    

    x>0,y>0

    +++

    二

    

    x<0,y>0

    +--

    三

    

    x<0,y<0

    --+

    四

    

    x>0,y<0

    -+-                  图(8)

      任意角三角函数值的符号的记忆方法是多种多样的,通过学习任意角三角函数值符号,学生能逐步运用数学知识去解决实际问题。

    

    参考文献:

    1、《数学》广东省职业技术教研室编,广东教育出版社,2006年7月第3版。

    2、《全国技工学校电工类数学课教学参考书》,中国劳动出版社,1992年7月北京第1版。13828081881

    

    

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